Differential Equation and Applications: Part 01

Engineering වලට නැතුවම බැරි ඒ වගේම; mathematical ප්‍රශ්නයකට solution එකක් ගන්න පාවිච්චි කරන්න පුළුවන් ක්‍රමයක් තමයි මේ differential equation කියන්නේ. ඉතින් මේ ඒ පාවිච්චි කරන ක්‍රමයට තමයි අපි mathematical Modeling; එහෙමත් නැත්නම් සරලවම Modeling කියලා කියන්නේ. physical ලෝකෙ ඕනෙම ප්‍රශ්නෙකට mathematically උත්තරයක් ගන්න තමයි මේ Modeling කියන solution එකක් පාවිච්චි කරන්නේ. Modeling ගැන අපි පස්සේ කතා කරමු. දැනට අපි මේ differential equation වල basic concepts මොනවද කියලා බලමු.

මොකක්ද මේ differential equation එකක් කියන්නේ ? differential equation එකක් කියන්නේ, නොදන්න පද සහ ඒවායේ අවකලන ව්‍යුත්පන්න (derivatives) සහිත සමීකරණයක්. English වලින්ම කියනවනං; an equation involving an unknown function and its derivatives.
මේකෙ diffrential equation කොටස් 2කට බෙදෙනවා. ඒ තමයි ordinary differential equation සහ partial differential equation.

Ordinary diffrential equation එකක් කියන්නේ independent variables එහෙම නැත්තං අපි දන්න x , X විතරක් පවතින diffrential equation වලට. (independent varible එකක් කියන්නේ අගය වෙනස් වෙන්න පුළුවන් විචල්‍යයකට ,ඒ වගේම dependent variable එකක් කියන්නේ independent variable එකේ අගය මත වෙනස් වෙන varible ඒකට. එ varible එක අපිට වෙනස් කරන්න බෑ. එක වෙනස් වෙන්නේ independent variable එක මත.ඒකයි එකට independent කියන්නේ. මොකද අපි මත වෙනස් වෙන්නේ නෑ). partial differential equation කියන්නේ independent variables එකකට වඩා පවතින partial differential equation වලට. මේකෙදි x,y dependent variable විදිහට හැසිරෙනකොට z ,independent variable එක විදිහට පවතිනවා. ODE එහෙම නැත්නම් Ordinary differential equation සහ partial differential equations ගත්තොත් අපි වැඩිපුරම කතා කරන්නේ Ordinary differential equations ගැන. අපි බලමු order differential equation වල හඳුනගන්නෙ කොහොමද? එහෙම නැත්තං එහි කොටස් මොනාද කියලා.

Order

order එක ඒ කියන්නේ ඒ කියන්නේ අවකලන වුන වාර ගාන .independent variable එක අවකලන වෙච්ච වාර ගාන(y; x විෂයෙන් අවකලනෙ වීමයි). උදාහරණයක් ගත්තොත්, y; x විසින් දෙවරක් අවකලනය වෙලා නම් එකෙ ඕඩර් එක තමයි දෙක. තුන් වරක් අවකලනය වෙලා නම් නම් ඒක ඒකෙ order එක තමයි තුන. හැබැයි differential equation එකක තුන්වරක් අවකලනෙ වීම සහ දෙවරක් අවකලනය වීමක් තිබුනොත් එකේ order එක වෙන්නේ තුන. මොකද අපි වැඩිම අවකලන ව්‍යුත්පන්නය තමයි order එක විදිහට ගන්නේ.

Digree

අපි බලමු digree කියන්නේ මොකද්ද කියලා. Digree එකක් කියන්නේ වැඩිම අවකලන වාර ගණනක් සහිත ව්‍යුත්පන්නයේ බලය. එහෙමත් නැත්නම්; order එකේ බලය කිව්වොත් වඩාත් නිවැරදියි.
එතකොට අවකලනයේ පළමු ව්‍යුත්පන්නයක්(first derivative) සහ අවකලනයේ දෙවන ව්‍යුත්පන්නයේ(second derivative) තුන්වන බලයක් තිබුනොත් ODE එකක digree තුනයි මොකද වැඩිම ව්‍යුත්පන්නක්(highest derivative) සහිත පදයේ බලය තමයි digree එක කියන්නේ. මතක තියාගන්න ඕන එකක් තමයි order එක හරි degree එක හරි අපි ගන්න ඕනේ differential equation එක සකසාගෙන; ඒ කියන්නේ අපිට දීලා තියෙන විදිහට අමුවෙන් ගන්න බෑ. මේකේ තියෙන ඍණ අගයන් සහ භාග අගයන් ඉවත් කරලා තමයි අපිට differential equation එක ගන්න වෙන්නේ.

Linear / Non-Linear

දැන් අපි බලමු මොකක්ද මේ linear සහ non-linear කියන වර්ග දෙක කියලා. linear ordinary differential equation මේකෙන් විශේෂතා දෙකක් තියනවා. ඒ කියන්නේ එකක් තමයි මේක first degree වෙන්න ඕනේ. ඒ කියන්නේ dependent variable(y) හරි ඒකෙ derivatives හරි බලයකින් තියන්න බෑ. y²,(dy/dx)²,(d²y/dx_²)³ මෙව්වා තියන්න බෑ. අනිත් එක මේ equations වල ව්‍යුත්පන්නයන් (derivatives) y වලින් එහෙමත් නැත්තං independent varible එකත් එක්ක ගුණ වෙන්න බෑ. නැත්තං independent variable එක සම්බන්ධතාවයක් තියාගන්න බෑ. Derivative එකක් එක්ක හරි independent variable එකත් එක්ක y ඉදියොත් ඉවරයි. ගෑවුන තැන ඉවරයි. non-linear ගැන කතා කලොත් ඒකේ තියෙන්නේ linear එකේ විරුද්ධ පැත්ත. ඒ linear වල තියෙන්න ඕන නැති දේවල් ටික එහෙමම non-linear වල තියනවා.

General / Particular solution

අපි ගන්න අන්තිමට ගන්න උත්තරය එහෙම නැත්තම් solution එක කොටස් දෙකකට බෙදලා වෙන් කරන්න පුළුවන්.එකක් තමයි General  solution අනිත් එක Particular solution. General solution එක කියන්නේ හරියට අසම්පූර්ණ පිළිතුරක්; පිළිතුර අන්තිමට අභිමත නියත(arbitrary constants) අඩංගු වෙනවා. හරියට උත්තර ගොඩක් වගේ. අභිමත නියත තියනවා කියන්නේ උත්තරක් ගොඩක් තියෙනවා වගේ මොකද එක නියතයක්නේ. ඒ නියතය ඕනම අගයක් වෙන්න පුලුවන්. Particular solution එකේ අඩංගු වෙන්නේ  අභිමත නියත නැති එක තනි උත්තරයක්. අභිමත නියත වලට සංඛ්‍යාත්මක වටිනාකමක් දුන්නට පස්සෙ තමයි මේ Particular solution එක ලැබෙන්නේ.

Initial-Value / Boundary-Value Problems

අපිට ප්‍රශ්නත් මෙන්න මේ විදිහට කොටස් දෙකකට වෙන් කරන්න පුළුවන් එකක් තමයි initial value problem අනෙක boundary value problems. initial value problem එකක් කියලා කියන්නේ independent variable එක හරියටම එක අගයක්; X= 2 වගේ අගයක් ලබා දෙන ගැටලු වලට. එතකොට ඒ කොන්දේසියට අපි කියනවා initial condition එක කියලා.

අපි හිතමු differential equation එකක් තියෙනවා කියලා ඒක second order differential equation එකක්. එතකොට එකේ අභිමත නියත දෙකක් තියෙනවා. ඒ අභිමත නියත 2 දෙක හොයාගන්න අපිට ප්‍රකාශන දෙකක් ඒ ගානේ ලබල දීල තියෙන්න ඕනේ.

Ex: y(2) = 1 නමුත් second order නිසා ප්‍රකාශන 02 ක් ඕන y' (2)=3 විදිහට තමයි X අගය දීල තියන්නේ.මේ ප්‍රකාශනවල X සමාන කරල තියන්නේ එක value එකකට විතරයි (X=2) ඒක නිසා initial value problem එකක් වෙනවා.

Ex: y(2)=6 y(7)=9  මෙකෙදි X වලට අගයන් 02 ක් කෙලින්ම දීල තියනවා.පැහැදිලි වෙන්නෙ, independent variable එකට values 2ක් හෝ ඊට වඩා දීල තියනව නම් ඒක boundary value problem එකක්. (X=2 X=7)

මේ basic concept වලින්ම පොඩි ටියුට් එකක් හදල තියෙනවා. එක ඩවුන්ලෝඩ් කරගෙන කරන්න.Answer sheet එක මන් දාන්නම්. කට්ටියටම ප්‍රශ්න තියෙනවා නම්,අලුතෙන් එකතු කරන්න දෙයක් තියනවනම්,ඒවගේම මේ කුප්පි වැඩේ ගැන අදහසක් දානව නම් පහලින් කමෙන්ට් කරන්න. එහෙනම් හැමෝටම ජය!

Differential Equations and Applications: Part 01 - Tute