අවකලනය(Differentiation) කරන්නෙ කෝහොමද ? කියන කාරණාව අයින් කරල, අවකලන ප්‍රස්ථාර ගැන විශේශයෙන්ම මෙතනදි කතා කරමු. ඉතිං ප්‍රස්ථාර ගැන කතා කරන්න කලින් දැනගෙන ඉන්න ඕන අවකලනය කරන්න සහ සීමාව හොයන්න. අනිවාර්යයෙන්ම සීමාව සහ අවකලය දැන ගෙන ඉන්න ඕන.
හොදයි, අවකලන ප්‍රස්ථාරයක් අදින්න විදි 2 ක් තියනවා.
1. පලමු අවකලන ව්‍යුත්පන්නය මගින්
2. දෙවන අවකලන ව්‍යුත්පන්නය මගින්
ඉතිං මේ විදිහට කොටස් දෙකකට වෙන් කලාට එකම ක්‍රියාවලියක් තමා මෙතන සිද්ද වෙන්නෙ.
අවකල ප්‍රස්ථාර අදින්න කලින් දැන ගන්න ඕන විශේශ වචන ටිකක් තියනවා.ඒ මොනවද කියල අපි එකින් එක බලමු.
Extreme value (වක්‍රයේ උපරිම අගය)
මේ extreme value එක කොටස් කොටස් 2 කට වෙන් කරන්න පුලුවන්.
1. Local extreme value
2. Absolute extreme value
වක්‍ර කිහිපයක් තියන ප්‍රස්තාරයක් සැලකුවාම ඒ ප්‍රස්ථාරයේදී වක්‍ර එකිනෙකයන්ට පවතින වක්‍රයේ උපරිම අගය ගැන තමයි මේ local extreme value කියන්නේ. මොකක්ද ඒ කිව්වෙ කියල තේරුනේ නැත්තම් පහල රූපෙ බලන්න. ඒවගේම ඒ වක්‍රයන්ට තියන වැඩිම extreme value එක් absolute extreme value එක කියල කියනවා.
Local extreme value - B,C,D,E
Absolute extreme value - E,C
අපි පොඩි කාලෙ ඉදන් දන්න දෙයක් තමයි ප්‍රථාරයක වක්‍රයක උපරිමයක් (maximum) වගේම අවමයක් තියනවා (minimum) ඉතිං මේ උපරිම හා අවම අගය අනුව,
1. Local mximum/minimum value
2. Absolute maximum/ minimum value
කියල බෙදන්බ පුලුවන්. ඒතකොට උඩ තියන ප්‍රස්තාරය maximum minimum විදිහට බෙදන්නේ කොහොමද කියල ඔයාල හිතල බලන්න.
Critical point/stationary point (හැරවුම් ලක්ශ්‍ය)
ප්‍රස්ථාරයක හැරවුම් ලක්ශ්‍ය වලට අපි critical point එකක් කියනවා, ඒ අනුව බැලුවාම extreme value එකක් කියන්නේ critical point එකක් තමයි. ඉතිංමේ critical pointඑකක් හොයාගන්නේ කෝමද අදුර ගන්නේ කොහොමද ? ශ්‍රිතයක් අවකලය කල විට ඒ ශ්‍රිතයේ අනුක්‍රමණ අගය ලැබෙනව කියල අපි දන්නවනේ. අදාල ශ්‍රිතය අවකලය කරල ඒක 0 ට සමාන කරල අපිට extreme value/critical point එක (x අගය) ගන්න පුලුවන්. මෙතනදි අපි බිංදුවට සමාන කරන්නේ වක්‍රයේ ඉහලම ලක්ශ්‍යයේ අනුක්‍රමණය 0 ක් වෙන්න ඕන. - අදාල වක්‍රය කුඩා කරල කුඩා කරලා බැලුවොත් පෙනේවි හැරෙන තැනේදි අපිට අනුක්‍රමණය 0 ක් කියල දකින්න පුලුවන් කියල(y අක්ෂයට සමාන්තර රේඛාවක්).
ඉතිං ඔය විදිහට අපිට ප්‍රස්ථාරයේ උපරිම හෝ අවම අගය ලබා ගන්න පුලුවන්. ඉතිං ඒකම තමයි ප්‍රස්තාරයේ හැරවුම් ලක්ශ්‍ය වෙන්නේ.
Asymptotes (ස්පර්ශෝන්මුඛ)
මේ ස්පර්ශෝන්මුඛ අවකලන ප්‍රස්ථාර වල දකින්න තියන තවත් වැදගත් ලක්ෂණයක්. දාල වක්‍රය අනන්තයට(+ හෝ -) යන පාරවල් විදිහට මේ ස්පර්ශෝන්මුඛ දක්වන්න පුලුවන්. මේ ස්පර්ශෝන්මුඛ කොටස් 2 යි.
1. Horizontal asymptotes ( තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ)
2. Vertical asymptotes ( සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ)
අදාල ශ්‍රිතයට හරයක් පවතිනව නම් පමණක් තමයි සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ (vertical asymptotes) පවතින්නේ. ඒකියන්නේ y/f(x)/ශ්‍රිතය අනන්තයට යෑම තමයි සලකන්නේ. නමේම තියනවනේ සිරස් කියල ඒ කියන්නේ y අක්ශයට සමාන්තගතව තියන්නේ. ඒ කියන්නේ x අගයක් හරහා යන y ට සමාන්තගත අක්ෂයක් තමයි සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛයක් කියල කියන්නෙ. ඉතිං කිව්වත් වගේ අනන්තයට යන්න නම් සරලව වෙන්න්න ඕන හරය 0 ක් වීම නේ ඉතිං පහල හරය 0 ක් වෙන්න x පදයට තියන්න ඕන අගය හරහා තමයි මේ සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛය අදින්නේ.
එතකොට කොහොමද තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ(horizontal asymptotes) හොයන්නේ. තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛයක් කියන්නේ x අක්ෂයට සමාන්තරගත, y අගයක් හරහා යන අක්ෂයකට. එතකොට අපි හොයන්න ඕන y අගයක්, ඒකට අපි ශ්‍රිතයේ x ධන හා ඍණ අනන්තයට අරන් යනවා. ඒකට තමයි අපිට සීමාව (limit) ඕන වෙන්නේ. අදල ශ්‍රිතය + අනන්තයට සහ - අනන්තයට සීමාව ආධාරයෙන් සුලු කරගන්නවා. ඒඅනුව y අගයන් 2 ක් +/- අනන්තයට හොයා ගන්නවා.
හරි විශේශයෙන් දැන ගන්න ඕන ඔන්න ඔයටික තමයි. ඊලගට බලමු වක්‍රය කොහොමද තීරණය කරන්නේ කියල. ඒකට අපි classification කියල කියනවා. වක්‍රයේ හැඩය තීරණය කරන්න පුලුවන් ක්‍රම 2 තමා මුලින්ම මං කියපු පලමු අවකලන ව්‍යුත්පන්නය සහ දෙවන අවකලන ව්‍යුත්පන්නය.
පලමු අවකලන ව්‍යුත්පන්නය මගින් (first Derivative)
වක්‍රය තීරණය වෙන්නේ ප්‍රථම අවකලනයෙන් , ඒ කියන්නේ අනුක්‍රමණ අගයෙන්. ඉතිං දන්න විදිහටම අනුක්‍රමණය ධන නම් සුලු කෝණයක් සහ ඍණ නම් මහා කෝණයක් තමයි ලැබෙන්නේ. ඒ වගේම තමයි අවකලනය මගිනුත් අදාල x අගය ප්‍රාන්තරයට අදාල අගයක් ආදේශ කලාම ලැබන අගය ධන නම් සුලු කෝණයකුත් සහ ඍණ නම් මහා කෝණයකුත් තමා ලැබෙන්නේ. මෙතනදි අපි x අගය ප්‍රාන්තරයක් තමයි පාවිච්චි කරන්නේ ඒක අපි ගනන් විසදද්දි බලමු. එකතොට අගය ප්‍රාන්තර 2 ක් මගින් තමා අපි වක්‍රයක හැඩය තීරණය කරන්නේ. මේ වගේ,
මෙන්න මේ c අවස්ථාව විශේශ අවස්ථාවක් ඒකට අපි නතිවර්ථයක්(inflection) කියල කියනවා. එක ළඟ ++ හා - - ප්‍රාන්තර පවතින කොට තමයි මේ inflection හැදෙන්නේ. නතිවර්ථය වෙන ලක්ශ්‍ය නතිවර්ථ ලක්ශ්‍යය කියල කියනවා (inflection point). ඉතිං මේ නතිවර්ථ ලක්ශ්‍යය තමයි අදාල එක් අගය ප්‍රාන්තරයක උපරිම අගය සහ අනෙක් ප්‍රාන්තරයේ අවම අගය. මේක අගය එකම තමයි. හරියට 3<x<7 සහ 7<x<8 වගේ මේකෙ dy/dx අගයන් ++ නම් හෝ - - නම් නතිවර්ථ ලක්ශ්‍ය 7 වෙනවා.
දෙවන අවකලන ව්‍යුත්පන්නය මගින් (Second Derivative)
මේකෙදි අපි පලමු ව්‍යුත්පන්නය 0 ට සමාන කරල ගන්න extreme/critical/stationary point එකේ අගය (x අගය) , දෙවන ව්‍යුත්පන්නයට ආදේශ කරනවා.
ඊට පස්සේ y/f(x)/ශ්‍රිතයට ලැබෙන අගය + ද - ද කියල බලනවා.
මෙතනදි දෙවන ව්‍යුත්පන්න අගය + නම් වක්‍රය අවමයක් බවද (Local minimum value)
- නම් වක්‍රය උපරිමයක් (Local maximum value) බවද තීරණය කරන්න පුලුවන්.
- f ''(c) < 0 ⇒ f (c) is a local maximum
- f ''(c) > 0 ⇒ f (c) is a local minimum
- f ''(c) = 0 ⇒ f (c) Not define
විශේශ නොවුනත් අවශ්‍යම දෙයක් තියනවා. ඒ තමයි අක්ෂ්‍ය ඡේදන ලක්ශ්‍ය සෙවීම. ඒක ඉතිං අපි දන්න විදිහටම අදාල ශ්‍රිතයේ x=0 කල විට y අක්ෂයේ ඡේදන ලක්ශ්‍යයත් y/f(x)/ශ්‍රිතය=0 කලවිට x අක්ෂයේ ඡේදන ලක්ශ්‍ය ගන්න පුලුවන්. වගු නිර්මාණය සහ Classification එක කරගන්න විදිහ අපි උදාහරණ ගානකින් සලකලා බලමු.
1. පලමු අවකලනය මගින්
f(x) = x4 - 2x2 - 3 [-2,+2] තුල
මේ ශ්‍රිතයේ,
1. පලමු අවකලනය ලබා ගමු.
2. එය 0 ට සමාන කරල extreme/critical points හොයා ගමු.
3. X සහ Y අක්ෂ ඡේදන ලක්ශ්‍ය හොයා ගමු.
4. ස්පර්ශෝන්මුඛ හොයමු.
5. වගුව ඇදල ප්‍රස්ථාරය අවසන් කරමු.
ඉතිං මේකෙ 1,2,3 පියවර ඔයාල උත්සහ කරල බලන්න. මේකෙ සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ නැහැනේ. මොකද ලවයක් නෑ. තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛත් ඔයාල හොයල බලන්න. ඉතිං මේ අගයන් ගත්තට පස්සෙ අපි වගුව අදින්න ඕන. ඒත් එක්කම classification එකත් කර ගන්න ඕන.
Extreme values විදිහට අපිට x = -1,0,+1 ලැබෙනවා.
ඒ අනුව අපි table එක ඇදගන්නවා. මේකෙදි table එක x අගය ප්‍රාන්තර තමයි යොදන්නේ. මොකද අපිට ඒ extreme points අතර අනුක්‍රමණ කෝණය කොහොමද පවතින්නේ කියල හොයන්න තමයි dy/dx පාවිච්චි කරන්නේ. අගය ප්‍රාන්තරයේ අගයක් dy/dx වලට ආදේශ කරල ඒ ලැබෙන අගයේ ලකුන සලකා බලලා තමයි ඒ ප්‍රාන්තරය තුල අනුක්‍රමණ කෝණයේ ස්භාවය තීරණය කරන්නේ. ඒ අනුව වක්‍රය කොහොමද කියල තීරණය කරන්න අපිට ප්‍රාන්තර 2 ක අනුක්‍රමණ ස්භවය සලකන්න කරන්න වෙනවා. ඒ තීරණය කිරීමට තමයි අපි classification එකක් කියල කියන්නේ. පහල රූපය බලන්න.
2. දෙවන අවකලනය මගින්
මෙතනදි කරන්න තියන්නේ පොඩි වෙනස් දෙයක් ඒ තමයි, අපි පලමු අවකලනයෙන් ගත්ත extreme points දෙවන අවකලනයට ආදේශ කරනවා. එතකොට අපිට ඒ අදාල extreme point එකේ වක්‍රය කොහොමද කියල classify කර ගන්න පුලුවන්. මේකට අදාල table එක අදින්න ඕන විදිහ තමයි පහලින් තියන්නේ. ඒ වගේම අපිට මෙතනදි පන්ති ප්‍රාන්තර 2 ක් සලකන්න ඕන නෑ වක්‍රයක් ඇද ගන්න.
මේ පලමු හෝ දෙවන අවකලනයෙන් වක්‍රය කොහොමද කියල අපි classify කරගත්තට පස්සෙ වක්‍රය නිර්මාණය කරන්න පුලුවන්.
ඉතිං පුරුදු විදිහට ගනන් ටිකක් පහලින් දාන්නම්, ඒ වගේම මේක අලුතෙන්ම ඉගෙන ගන්න අයට ටිකක් අපැහැදි තැන් ඒවි ඒව පහලින් කමෙන්ට් කරන්න නැත්තම් අපේ forum එකට දාන්න. නමුත් AL වලට mathes කරපු අයට මේව අමුතුවෙන් ඉගෙන ගන්න ඕන නැහැ. මේ ලිපිය ටිකක් අමතක අයට අයට මතක් කරගන්න උදව් වෙන්න සහ කඩ්ඩ ගනන් වලට යෙදෙන විදිහ තේරුම් කරන්න තමා ලිව්වේ. පහලින් AL ප්‍රස්ථාර ගනන් ටිකක් (සිංහල) දාන්නම්. ඒ වගේම ප්‍රස්ථාර english tute එකක් දාන්නම් ඒකෙ උත්තරත් ඇති. වැඩිදුර කියවන්න පොඩි pdf එකකුත් දාල ඇති. ඉතිං ඊලග ලිපියකින් හම්බ වෙමු හැමෝටම ජය !
.png)
0 Comments