Differential Equations and Applications: Part 02

දෙවෙනි කොටසෙන් අපි කතා කරන්න first order differential equations ගැන. මේ first order කියන්නේ මොකක්ද කියලා බලන්න ඕන නම් අනිවාර්යෙන්ම part 1 කියවලා ඉන්න.

Standard Form

ඉතින් මේ first order differential equation අපිට කොටස් හයකට බෙදලා වෙන් කරන්න පුලුවන්.

• Variable Separable
• Homogeneous Equations
• Linear differential equation
• Bernoulli’s Equation
• Exact Equation
• Equations Reducible to Homogeneous Form

දැන් අපි එකින් එක බලමු කොහොමද මේවා විසදන්නේ කියලා.

Variable Separable

ලේසිම වගේම ඉක්මනින්ම විසඳන්න පුළුවන් වර්ගය තමයි variables separable කියන්නේ. අනුකලය විතරක් පාවිච්චි කරල අපිට මේකෙ උත්තරයක් ගන්න පුළුවන්. variable separable equation අදුරගන්නෙ කොහොමද? නමේම තියෙනවා මේක separable කියලා. ඒ කියන්නෙ මේකෙ තියෙන variables දෙක වෙන වෙනම තමයි තියෙන්නේ.

කොහොමද මේක විසඳන්නේ ? සරල උදාහරනයක් අරන් බලමු.

උදාහරණය 01 :

උදාහරණ 01 පැහැදිලි කිරීම :

මේක එක පාරක් අනුකලනය වන හින්දා අභිමත නියත එකයි තියෙන්නේ. එතකොට මේක initial value problem එකක් වෙනවා. ඒ කියන්නේ මේක විසඳන්න අපිට ලැබෙන්නෙ එක X අගයයි.

Homogeneous Equations

homogeneous equations මේ වගේ විසඳන්න නම් අපිට ලබා දීල තියෙන ප්‍රකාශන දෙකම homogeneous වෙන්න ඕනේ වගේම එකම digree එකෙක් තියන්න ඕන. Functions , homogeneous ද කියල බලන්නේ මෙහෙමයි;

උදාහරණය 02 :

උදාහරණ 02 පැහැදිලි කිරීම :

y=xv කියන ප්‍රකාශනය සහ ඒකෙ අවකලන ව්‍යුත්පන්නය වෙන : dy/dx = v + x dy/dx වෙන මේ ප්‍රකාශනයටත් අපේ homogeneous equation එක ආදේශ කරනවා. එතකොට අපිට y නැති v සහ x වලින් පිරුණු differential equation එකක් ලැබෙනවා ඉතිං අන්තිම පියවර විදිහට අපිට variable separable ක්‍රමය යොදන්න පුලුවන්. උදාහරනයක් අරං බලමු. අන්තිමට ආදේශයෙන් අපි එකතු කරගත්ත v ආදේශයෙන්ම ආයි ඉවත් කර ගන්නවා. උදාහරනයක් ගත්තොත් ;

උදාහරණය 03 :

උදාහරණ 03 පැහැදිලි කිරීම :

Homogeneous Equations & Variable Separable quiz

Linear differential equation

ඉතින් නමේම තියනවා මේක මේ linear කියලා first order linear differential equation එකක පෙනුම මෙහෙමයි තියෙන්නෙ.

dy/dx + Py = Q

ඉතිං මේක linear හින්දා අපිට p හෝ q වල y පද අඩංගු වෙන්න බෑ. තියෙන්න පුළුවන් X පද සහ නියත විතරයි. අදුර ගන්න තියෙන ලේසිම විදිහ තමයි y එක්ක ගෑවිලා තියෙන p; p නම් X ප්‍රකාශනයක් වෙන්නත් පුළුවන්, නියතයක් වෙන්නත් පුළුවන්. ඔන්න ඕකෙන් තමයි අපි මේ differential equation එක linear differential equation එකක් කියලා අදුරගන්නේ. ඒ වගේම වෙන්වුණු q ගෙන් උනත් අදුර ගන්න පුලුවන්( q උනත් නියතයක් හෝ X සහිත ප්‍රකාශනයක් වෙන්න පුලුවන්). differential equation එක අඳුරගෙන ඉන්න ඕන මුලින්ම ඒක විසඳන්න කලින්. ඒකයි මේක මතක තියා ගන්න ඕන.

Intergeating Factor

linear differential equation ගැන කතා කරද්දී අනිවාර්යෙන් මතක තියාගන්න ඕන දෙයක් තමයි මේ integrating factor කියන එක. මොකක්ද මේ intergrating factor  එකක් කියන්නේ ?integrating factor එකක් කියන්නේ differential equation විසඳන්න පාවිච්චි කරන එක function එකක්.මේකෙන් ප්‍රධාන වශයෙන් වෙන්නේ differential equation එකක් අනුකලනය කර ගන්න ගුණ කරන්න ඕනේ ශ්‍රිතයක්. නැත්නම් අනුකලනය ලේසි කරගන්න පාවිච්චි කරන ශ්‍රිතයක්(function) එකක් විදියට අපිට මේක හඳුන්වන්න පුළුවන්. (product Rule එක ගැන : මෙතන ලින්ක් එකෙන් product rule එක ගැන අදහසක් ගන්න.නමුත් සරලවම product rule එකක් කියන්නේ අවකලනයේ ගුණිතයට. පහල රූපේ තියෙනෙනේ uv ගේ ගුණිතය ගන්න විදිහ )

linear differential equation එකක Integrating factor එක හොයන විදිහ බලමු.

උදාහරණය 04 :

උදාහරණ 04 පැහැදිලි කිරීම :

හරි , intagrating factor එක ඔයා අදුරගත්තා නම් කොහොමද linear differential equation එකක් විසඳන්නේ? මේ උදාහරණය සලකමු.

උදාහරණය 05 :

උදාහරණ 05 පැහැදිලි කිරීම :

Bernoulli’s Equation

මෙතනදි අපි ලොකුවට bernoulli equations ගැන වෙනම කතා කරන්න ඕන නෑ මොකද linear differential equation එකම පුංචි පියවරක් ඉස්සරහට යෑමක් තමයි bernoulli differential equation කියන්නේ.
dy/dx + py= q කියන linear equation එක, dy/dx+px = qyⁿ කියන equation එකට වෙනස් වීමක් තමයි වෙන්නේ. ඉතිං මෙතනදී q ට එකතු වෙන y ගේ බලය නිසා මේ equation එක bernoulli equation එකක් වෙනවා. මේ n ගැන කතා කලොත් මේක n > 1 වෙන්නම ඕන. ( හිතන්න n=0 හෝ n=1 වුනහම මොකද වෙන්නේ කියල, ඒක comment කරන්න). n අගය අපි හොයාගන්නම ඕන, සමීකරණය පිලිවෙලට සකසා ගත්තට පස්සේ අපිට පෙනේවි n කියන්නේ මොකක්ද කියල.
මේ වර්ගය විසදන්නකොට,

• මුලින්ම මේක linear equation එකක් කරගෙන
• ඒ linear equation එක විසඳනවා.

මේ බර්නූලි සමීකරණ විසඳීම පියවර 05 කින් අපි මතක තියා ගමු.

1. n අගය සොයා ගෙන z = y^(1-n) ට n යොදා z අගයක් ලබා ගැනීම.
2. එම z අගය අවකලනය කිරීම. ( dz/dx = (1-n)/yⁿ  dy/dx  ආකාරයෙන් ලැබේ).
3. බර්නූලි සමීකරණයේ q සමග ඇති yⁿ, වලින් මුලු ප්‍රකාශනයම බෙදා එයට ඉහත (2) ,ආදේශ කරන්න. මෙන්න මේ පියවර වෙද්දි අපිට linear equation එකක් ලැබෙනවා.ඒක dz/dx+ (1-n)pz = (1-n)q ආකාරයේ වේවී.
4. ලැබුනු linear equation එක විසඳන්න.
5. linear equation එක විසදා ලැබුනු z අඩංගු පිලිතුරට නැවත y ආදේශ කරන්න.

මේ පියවර හරියට follow කලොත් අනිවාර්යයෙන්ම උත්තරේ ගන්න පුලුවන්. මතක තියාගන්න ඕන දේ තමයි z = y^(1-n) කියන එක. ඒක අපිට ඕන වෙන්නේ bernoulli equation එක linear කරගන්න. මෙතනදි මම උදාහරණ ගානක් කතා කරන්නේ නෑ අනවශ්‍ය විදිහට මේ ලිපිය දිග වැඩි වෙන නිසා. පහලින් තියන ගාන තනියම කරන්න, නොතේරෙන දෙයක් තියනව නම් comment කරන්න.

උදාහරණය 06 :

Linear differential equation & Bernoulli’s Equation quiz

Exact Equation

Exact equation එකක type එක කොහොමද ?
M dx + N dy = 0

මෙතන M සහ N කියන්නේ x හා y පද අඩංගු ප්‍රකාශනයකට. මෙතනදි M සහ N , x වගේම y තිබ්බටම වැඩක් නෑ. සමහර විට වෙනම equation එකක් වෙන්න ඇති. ඉතිං මෙක exact equation එකක්ද නැද්ද කියල බලන්න තෘප්ත කරන්න ඕන සාධකයක් තියනවා.

ඉතිං මේ විදිහට partial differentiation පාවිච්චි කරල තමා හොයා ගන්නේ (එක විචල්‍යකට වඩා තියන කොට තමයි මේ අවකලනය පාවිච්චි වෙන්නේ). ඉතිං මේ partial differentiation එක ගැන තේරුමක් නැත්තම් හිතන්න එපා. ඒක ගැන ලිපියක් අරං එන්නම්. Exact equation එකක්ද කියල හොයන්න තමයි අපි මේක පාවිච්චි කරන්නේ.
ගාණ විසඳන විදිහ,

1. M සහ N අදුර ගන්න ඕන.
2. y එහෙම නැත්තම් එක් විචල්‍යක් නියතව තබා ගනිමින් හොයා ගත්ත M , x විශයෙන් (අනෙත් විචල්‍ය විශයෙන්) අනුකලනය කරනවා.
3. x හෝ තෝරාගත් අනෙක් විචල්‍ය සම්බන්ධ වුන පද ඉවත් කරල N, y විශයෙන් හෝ අනෙක් විචල්‍යයෙන් අනුකලනය කරනවා.
4. (2) සහ (3) මගින් අනුකලයෙන් ගත් පිළිතුරු එකතුකරනවා. එම පිළිතුරු වල එකතුව අභිමත නියතයකට සමාන වෙනවා.

Equation Reducible to homogeneous form

Homogeneous equation ම වෙනස් විදිහට ඉදිරිපත් කිරීමක් විදිහට ගන්න පුලුවන්. මෙතනදී, ax+by+c කියන ප්‍රකාශන 2 ක් හරයේ සහ ලවයේ පවතින කොට අවස්ථව විදිහට අපිට ගන්න පුලුවන්.
සම්මත ආකාරය :
dy/dx = (ax+by+c) / (Ax+By+C)

මේකත් තව අවස්ථා 2 කට බෙදෙනවා.
1. ax+by+c = 0 සහ Ax+By+C = 0 එකිනෙකට සමාන්තගත නම්
2. ax+by+c = 0 සහ Ax+By+C = 0 එකිනෙකට සමාන්තගත නොවේ නම්

ඉතිං මේක සමාන්තරගතද නැද්ද කියල බලන්නේ කොහොමද ? මුලින්ම අදාල ax+by+c = 0 සහ Ax+By+C = 0 එකිනෙකට හදුන ගන්න ඕන. ඊට පස්සෙ ඒවායේ අනුක්‍රමණ (m) හොයා ගන්න ඕන. (y = mx+c අවස්ථාවට පත් කරගෙන හොයා ගන්න) . අනුක්‍රමණ වෙනස් නම් මේවා සමාන්තගත නෙමේ, සමානයි නම් සමාන්තගත වෙනවා.
මේ වර්ගයේ equations වල විසඳුම් ගන්න කොට කරන්න ඕනෙ,
1. සමීකරණයේ පද ස්ථානය වෙනස් කර දී තිබෙන සම්මත අවස්ථාවට පත් කර ගන්න.
2. සමීකරණයේ නියත ඉවත් කර homogeneous බවට පත් කර ගැනීම.
3. Homogeneous equation එක විසඳීම.
දැන් බලමු වෙනවෙනම මේව විසඳන විදිහ.

1. ax+by+c = 0 සහ Ax+By+C = 0 එකිනෙකට සමාන්තගත නම්

කලින් කිව්ව වගේ මේකෙ නියත ඉවත් කරගන්න ඕන. ඒකට අපි පොදු වූ අනුක්‍රමණය හොයා ගන්න ඕන.
හරය සහ ලවය පොදු අනුක්‍රමණය එලියට ගෙන, m(ax+by+c) විදිහට සකස ගන්න ඕන.
dy/dx = m(ax+by+c) / m(Ax+By+C)

එතකොට පෙනේවි, (ax+by) = (Ax+By) කියලා. ඉතිං මෙතන , ax+by = Ax+By = Z කියල ආදේශයක් යොදනවා. දැන් පැහැදිලි වෙන්න ඕන මේ ආදේශය අපි homogeneous equation වල යොදපු y=vx වගේමයි කියල. ඉතිං මෙතන ඉදන් යන්නේ homogeneous equation එකක් විසඳන විදිහ. 

............මේ ලිපියේ ඉතුරු කොටස් ටික සම්පුර්ණ කරලා දාන්නම් .....................